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<!DOCTYPE html>

<title>Fuzzy-c-Means-Algorithmus</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Fuzzy-<i>c</i>-Means-Algorithmus</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>In der <a href="Informatik" title="Informatik">Informatik</a> ist der <b>Fuzzy-c-Means-Algorithmus</b>, auch <i>Algorithmus der c unscharfen Mittelwerte</i>, ein unüberwachter <a href="Clusteranalyse" title="Clusteranalyse">Clustering</a>-Algorithmus, der eine Erweiterung des <a href="K-Means-Algorithmus" title="K-Means-Algorithmus">k-Means-Clustering-Algorithmus</a> ist. In einer generalisierten Form wurde er von Bezdek (1981) vorgestellt.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Grundidee">Grundidee</h2></div>

<p>Im c-Means-Clustering wird die Zahl der Cluster <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> zunächst festgelegt (im k-Means-Clustering wird die Zahl der Cluster mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span> statt mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> bezeichnet). Im ersten Schritt werden zufällig Clusterzentren <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dffe5726650f6daac54829972a94f38eb8ec127.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.927ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{i}}" loading="lazy"></span> (Kreise unten in der Grafik) festgelegt. Im zweiten Schritt wird jedes Objekt (Rechtecke unten in der Grafik) dem nächsten Clusterzentrum zugeordnet. Danach werden die (quadrierten) Abstände zwischen jedem Objekt und seinem zugeordneten Clusterzentrum berechnet und für alle Beobachtungen aufsummiert (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{kmeans}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{kmeans}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf37a781cbc653213ad1b60d862a4db102589c6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.215ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{kmeans}}" loading="lazy"></span>). Das Ziel ist es, den Wert von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J_{kmeans}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J_{kmeans}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf37a781cbc653213ad1b60d862a4db102589c6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.215ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J_{kmeans}}" loading="lazy"></span> so klein wie möglich zu machen, d. h. Positionen für die Clusterzentren zu finden, so dass der Abstand zwischen jedem Objekt und seinem zugehörigen Clusterzentrum klein ist. Im dritten Schritt werden daher die Clusterzentren aus den Objekten, die zu einem Cluster gehören, neu berechnet. Im vierten Schritt wird wieder jedem Objekt sein nächstes Clusterzentrum zugeordnet. Dieses Verfahren wird iteriert bis sich eine stabile Lösung findet. Wie die folgende Grafik zeigt, können Objekte im Verlauf des Iterationsprozesses durchaus verschiedenen Clustern zugeordnet werden; vergleiche die Grafik zu Schritt 2 und Schritt 4.

</p>

<li class="gallerycaption">k-Means Clustering</li>

<div class="gallerytext">Schritt 1: Zufällige Wahl der Clusterzentren</div>

</li>

<div class="gallerytext">Schritt 2: Zuordnung der Objekte zu einem Clusterzentrum</div>

</li>

<div class="gallerytext">Schritt 3: Neuberechnung der Clusterzentren</div>

</li>

<div class="gallerytext">Schritt 4: Erneute Zuordnung der Objekte zu einem Clusterzentrum</div>

</li>

</ul>

<p>Der Nachteil des k-Means-Clustering ist, dass jedes Objekt in jedem Schritt <i>eindeutig</i> einem Clusterzentrum zugeordnet wird. Das führt dazu, dass die endgültige Lösung stark von der Wahl der Position der Clusterzentren am Anfang abhängen kann. Natürlich ist man an einer eindeutigen Lösung interessiert, möglichst unabhängig von der Position der Clusterzentren am Anfang.

</p><p>Im Fuzzy-c-Means-Algorithmus wird daher jedes Objekt nicht eindeutig einem Clusterzentrum zugeordnet, sondern jedem Objekt wird ein Satz Gewichte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u_{1i},\ldots ,u_{Ci})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u_{1i},\ldots ,u_{Ci})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8d21715c2fc1fa79e767d78bbcf232b9f5be467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u_{1i},\ldots ,u_{Ci})}" loading="lazy"></span> zugeordnet, die angeben, wie stark die Zugehörigkeit zu einem bestimmten Cluster ist. Beispielsweise könnte für das rote Objekt in Schritt 2 die Gewichte

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{blau}}=0{,}1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2ced06ecfedd24476985274d73659dac97a7eb1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.739ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{blau}}=0{,}1}" loading="lazy"></span> für den blauen Cluster</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{grün}}=0{,}1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/78afd22df39d6c802137fcf7f5dae152c8af588b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:11.014ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{grün}}=0{,}1}" loading="lazy"></span> für den grünen Cluster und</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{rot}}=0{,}8}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8399bf699dc2633f237290c9effa42638cc83ff9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.738ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{rot}}=0{,}8}" loading="lazy"></span> für den roten Cluster sein.</li></ul>

<p>Diese Gewichte werden dann auch benutzt, um den gewichteten Abstand zu <i>allen</i> Clusterzentren zu berechnen. Am Ende werden dann Objekte, die nahe einem bestimmten Clusterzentrum liegen, große Gewichte für diesen Cluster haben. Das blaue Objekt nahe dem blauen Clusterzentrum in Schritt 4 könnte z. B. die Gewichte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{\text{blau}}=0{,}90}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{blau}}=0{,}90}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a865b6943c85ad7b01a2e14881919fc7499518b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.902ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{blau}}=0{,}90}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{\text{grün}}=0{,}05}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{grün}}=0{,}05}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5d170c6980e17d703b52f4dc8a2bbe177762fa4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:12.177ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{grün}}=0{,}05}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{\text{rot}}=0{,}05}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{rot}}=0{,}05}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b00b7ad13eb78e42dfa9579691256b710d278e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.901ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{rot}}=0{,}05}" loading="lazy"></span> haben. Die beiden blauen Objekte nahe der Grenze zum grünen Cluster könnten dann z. B. die Gewichte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{\text{blau}}=0{,}5}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{blau}}=0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a53e258315b7c2fc6261fc6b348e96e4d548064f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.739ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{blau}}=0{,}5}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{\text{grün}}=0{,}45}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{grün}}=0{,}45}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cb473424b6455a4cf875aa6e9c84bdb555510d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:12.177ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{grün}}=0{,}45}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{\text{rot}}=0{,}05}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{\text{rot}}=0{,}05}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b00b7ad13eb78e42dfa9579691256b710d278e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.901ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle u_{\text{rot}}=0{,}05}" loading="lazy"></span> haben.

</p><p>Die Gewichte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (u_{1i},\ldots ,u_{Ci})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (u_{1i},\ldots ,u_{Ci})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8d21715c2fc1fa79e767d78bbcf232b9f5be467.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.317ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (u_{1i},\ldots ,u_{Ci})}" loading="lazy"></span> für jedes Objekt stellen sogenannte Fuzzy-Zahlen dar. Die Gewichte müssen sich auch nicht für jedes Objekt zu Eins addieren (wie es in diesem Abschnitt zum besseren Verständnis gemacht wurde). Aus der Ableitung vom k-Means-Clustering stammt auch der Name <i>Fuzzy-c-Means.</i>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematische_Beschreibung_des_Algorithmus">Mathematische Beschreibung des Algorithmus</h2></div>

<p>Der Begriff <i>fuzzy</i> beschreibt dabei eine Methode der <a href="Clusteranalyse" title="Clusteranalyse">Clusteranalyse</a>, die es erlaubt, ein Objekt mehr als nur einem Cluster zuzuordnen. Ermöglicht wird dies dadurch, dass ein Grad der Zugehörigkeit (<i>membership degree</i>) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde3939a7af6452c28cc4928c17739e75c47b594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.986ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{ik}}" loading="lazy"></span> des Objekts <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}\ (k=1,\dots ,N)}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}\ (k=1,\dots ,N)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/96a5d4e77cca4266f60b138558aa1e422ea4038c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.522ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{k}\ (k=1,\dots ,N)}" loading="lazy"></span> zu jedem Cluster <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i\ (i=1,\dots ,C)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i\ (i=1,\dots ,C)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/95c42ba3c6992c58db740395ab99957467c62cca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.2ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i\ (i=1,\dots ,C)}" loading="lazy"></span> verwendet wird. Jedes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde3939a7af6452c28cc4928c17739e75c47b594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.986ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{ik}}" loading="lazy"></span> liegt dabei im Intervall [0, 1]. Je größer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde3939a7af6452c28cc4928c17739e75c47b594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.986ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{ik}}" loading="lazy"></span>, desto stärker ist die Zugehörigkeit von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{k}}" loading="lazy"></span> zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span>.

</p><p>Die Zielfunktion des Fuzzy-c-Means-Algorithmus lautet:

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(U,V)=\sum _{i=1}^{C}\sum _{k=1}^{N}u_{ik}^{m}d_{ik}^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/be6f4d678e89466ca281c8c5dd170f9b8897516a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:24.984ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle J(U,V)=\sum _{i=1}^{C}\sum _{k=1}^{N}u_{ik}^{m}d_{ik}^{2}.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Dabei gibt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{ik}^{2}=(x_{k}-v_{i})^{T}(x_{k}-v_{i})}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{ik}^{2}=(x_{k}-v_{i})^{T}(x_{k}-v_{i})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/efb5991bf7e69ac128962f3f7e697645fc4d83f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:25.344ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle d_{ik}^{2}=(x_{k}-v_{i})^{T}(x_{k}-v_{i})}" loading="lazy"></span> die quadrierten (euklidischen) Distanzen zwischen den Punkten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d2b88c64c76a03611549fb9b4cf4ed060b56002.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.418ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{k}}" loading="lazy"></span> und den Clusterzentren (Prototypen) <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dffe5726650f6daac54829972a94f38eb8ec127.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.927ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{i}}" loading="lazy"></span> aus der Matrix V an. Die Partitionsmatrix U gibt die membership degrees <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde3939a7af6452c28cc4928c17739e75c47b594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.986ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{ik}}" loading="lazy"></span> wieder. C ist die Anzahl an Clustern und N die Größe des Datensatzes. Der „fuzzifier“ m(>1) bestimmt, wie scharf die Objekte den Clustern zugeordnet werden. Lässt man m gegen unendlich laufen, so nähern sich die <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde3939a7af6452c28cc4928c17739e75c47b594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.986ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{ik}}" loading="lazy"></span> dem Wert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{C}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{C}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8d758ad4b77dac35ca4ccac13ab80c475ae1b7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.085ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{C}}}" loading="lazy"></span> an, d. h. die Zugehörigkeit der Punkte ist zu allen Clustern gleich groß. Liegt m nahe bei 1, so ist das Clustering scharf, d. h. die Zugehörigkeiten liegen näher bei 0 oder 1. In der Praxis haben sich für m Werte zwischen 1 und 2,5 als geeignet herausgestellt (vgl. Stutz (1999)). Die Werte <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u_{ik}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{ik}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dde3939a7af6452c28cc4928c17739e75c47b594.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.986ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle u_{ik}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{i}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7dffe5726650f6daac54829972a94f38eb8ec127.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.927ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle v_{i}}" loading="lazy"></span> werden durch Minimierung der Zielfunktion J bestimmt. Die Objekte werden den Clustern also so zugeordnet, dass die Summe der quadrierten Abstände <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d_{ik}^{2}}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{ik}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f682c34ecd1f242ca768e16e624615c9067cbc2d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.865ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle d_{ik}^{2}}" loading="lazy"></span> minimal wird. Die Optimierung findet unter Nebenbedingungen statt:

</p>

<ol><li>Für jeden Punkt ist die Summe der Zugehörigkeiten zu allen Clustern gleich 1, d. h. für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span> gilt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{C}u_{ik}=1}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{C}u_{ik}=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59859401558ed0a47c0980c4503a5d7a426cbf9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.988ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{C}u_{ik}=1}" loading="lazy"></span>,</li>

<li>Die Cluster sind nicht-leer, d. h. für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"></span> gilt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{N}u_{ik}>0}">

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{N}u_{ik}>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8719f6841e0de135a51529fdbab49294bcee97e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:13.277ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{N}u_{ik}>0}" loading="lazy"></span>.</li></ol>

<p>Zur Lösung des Minimierungs-Problems wird das Lagrangeverfahren angewandt. Die Lagrangefunktion

</p>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(U,V,\lambda )=\sum _{i=1}^{C}\sum _{k=1}^{N}u_{ik}^{m}d_{ik}^{2}-\sum _{k=1}^{N}\left(\lambda _{k}\left(\sum _{i=1}^{C}u_{ik}-1\right)\right)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d3cb3bc71951ce90ccc16be29b788d4e50c1997.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:54.233ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle J(U,V,\lambda )=\sum _{i=1}^{C}\sum _{k=1}^{N}u_{ik}^{m}d_{ik}^{2}-\sum _{k=1}^{N}\left(\lambda _{k}\left(\sum _{i=1}^{C}u_{ik}-1\right)\right)}" loading="lazy"></span></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy"></span> abgeleitet. Als Lösung ergibt sich:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v_{i}={\frac {\sum _{k=1}^{N}u_{ik}^{m}x_{k}}{\sum _{k=1}^{N}u_{ik}^{m}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3489e357c9474cc25917e036cbfa1308e50a332c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:17.315ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle v_{i}={\frac {\sum _{k=1}^{N}u_{ik}^{m}x_{k}}{\sum _{k=1}^{N}u_{ik}^{m}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msup>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u_{ik}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{C}\left({\frac {d_{ik}}{d_{jk}}}\right)^{\frac {2}{m-1}}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dfdcc224d2563bc23c7dacbdd055c8a947339c6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -5.671ex; width:22.593ex; height:9.009ex;" alt="{\displaystyle u_{ik}={\frac {1}{\sum _{j=1}^{C}\left({\frac {d_{ik}}{d_{jk}}}\right)^{\frac {2}{m-1}}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der Algorithmus besteht dann aus den folgenden Schritten:

</p>

<ol><li>Initialisiere eine Start-Partitionsmatrix <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U^{0}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U^{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/de3784dd17c1cc9b7ff89a800df3456b50077d4d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.895ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle U^{0}}" loading="lazy"></span></li>

<li>Berechne die Prototypen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V^{r}=[v_{i}]}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V^{r}=[v_{i}]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2764d304416e42fdb18e182a42f3a3f710f9eda.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.21ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle V^{r}=[v_{i}]}" loading="lazy"></span> im Iterationsschritt r</li>

<li>Berechne die Partitionsmatrix <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U^{r}=[u_{ik}]}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U^{r}=[u_{ik}]}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08a255af7124feed2bab4f1552edbfb9de84bddc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.193ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U^{r}=[u_{ik}]}" loading="lazy"></span> im Iterationsschritt r</li>

<li>Falls <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \|{U}^{r}-{U}^{r-1}\|<\varepsilon }">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|{U}^{r}-{U}^{r-1}\|<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6345c08656cda069a2a50a37f8d99a3d7e728e32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.078ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|{U}^{r}-{U}^{r-1}\|<\varepsilon }" loading="lazy"></span> dann Stopp. Sonst zurück zu Schritt 2</li></ol>

<p>Dabei gibt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"></span> einen kleinen Schwellenwert an.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiel">Beispiel</h2></div>

<p>Der Schweizer Banknoten-Datensatz besteht aus 100 echten und 100 gefälschten Schweizer 1000-Franken-<a href="Banknote" title="Banknote">Banknoten</a>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> An jeder Banknote wurden sechs Variablen erhoben:

</p>

<ul><li>Die Breite der Banknote (WIDTH),</li>

<li>die Höhe an der Banknote an der linken Seite (LEFT),</li>

<li>die Höhe an der Banknote an der rechten Seite (RIGHT),</li>

<li>der Abstand des farbigen Drucks zur Oberkante der Banknote (UPPER),</li>

<li>der Abstand des farbigen Drucks zur Unterkante der Banknote (LOWER) und</li>

<li>die Diagonale (links unten nach rechts oben) des farbigen Drucks auf der Banknote (DIAGONAL).</li></ul>

<p>Die beiden Grafiken unten zeigen das Ergebnis der k-Means-Clusteranalyse (links) und der Fuzzy-c-Means-Clusteranalyse (rechts) auf den ersten beiden <a href="Hauptkomponentenanalyse" title="Hauptkomponentenanalyse">Hauptkomponenten</a> der Schweizer Banknoten Daten. Die beiden Clusterzentren sind in beiden Grafiken jeweils mit dem Kreuz im Kreis markiert. Der kompakte Cluster rechts enthält die echten Banknoten und der Rest sind die gefälschten Banknoten.

</p>

<dl><dt>k-Means-Clustering</dt>

<dd>Im k-Means-Clustering sind die echten und falschen Banknoten fast richtig klassifiziert worden. Nur eine falsche Banknote ist dem blauen Cluster zugeordnet worden. Dabei ist zu beachten, dass das Clustering mit <i>allen sechs Variablen</i> stattgefunden hat während die Grafik nur zwei Dimensionen darstellt.</dd>

<dt>Fuzzy-c-Means-Clustering</dt>

<dd>Hier sind noch mehr Beobachtungen (in der Mitte unten) dem Cluster mit den echten Banknoten zugeordnet worden. Auf den ersten Blick scheint das Fuzzy-c-Means-Clustering schlechter zu sein als das k-Means-Clustering. Die Größe der Datenpunkte in der Grafik gibt jedoch den Wert der Membership Funktion an: Je größer der Datenpunkt desto eindeutiger wird er einem Cluster zugeordnet, je kleiner der Datenpunkt desto unsicherer ist der Algorithmus über die Zuordnung zu einem Cluster. Betrachtet man die Datenpunkte unten in der Mitte, so sieht man, dass sowohl im roten als auch im blauen Cluster die Datenpunkte sehr klein sind, d. h. die Werte der Membershipfunktion liegen hier für beide Cluster bei ca. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0{,}5}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0{,}5}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33fb02183afae54b158a5738ed4778988deb1b4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0{,}5}" loading="lazy"></span>. Also ist sich der Fuzzy-c-Means-Algorithmus eigentlich sehr unsicher darüber, welchem Cluster diese Datenpunkte zuzuordnen sind.</dd>

<dd>Tatsächlich ist es so, dass die echten Banknoten von einer Vorlage (<a href="Druckplatte" title="Druckplatte">Druckplatte</a>) gedruckt wurden, während die gefälschten Banknoten aus verschiedenen Quellen und damit wahrscheinlich auch von verschiedenen gefälschten Druckplatten stammen.</dd></dl>

<caption><b>Ergebnis der k-Means-Clusteranalyse (links) und der Fuzzy-c-Means-Clusteranalyse (rechts) auf den Schweizer Banknoten Daten.</b>

</caption>

</td>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Christiane Stutz: <i>Anwendungsspezifische Fuzzy-Clustermethoden</i> (Dissertation zur künstlichen Intelligenz, TU München). Infix, Sankt Augustin 1999.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://matteucci.faculty.polimi.it/Clustering/tutorial_html/AppletFCM.html">A Tutorial on Clustering Algorithms.</a> Online Tutorial mit interaktivem Demo für den Fuzzy C-Means Algorithmus.</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.scholarpedia.org/article/Fuzzy_C-means_cluster_analysis"><i>Fuzzy C-means cluster analysis</i>.</a> <a href="Scholarpedia" title="Scholarpedia">Scholarpedia</a> (englisch)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">J.C. Bezdek: <cite style="font-style:italic">Pattern recognition with fuzzy objective function algorithms</cite>. Plenum Press, New York 1981.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fuzzy-c-Means-Algorithmus&rft.au=J.C.+Bezdek&rft.btitle=Pattern+recognition+with+fuzzy+objective+function+algorithms&rft.date=1981&rft.genre=book&rft.place=New+York&rft.pub=Plenum+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Bernhard Flury, Hans Riedwyl: <cite style="font-style:italic">Multivariate Statistics: A Practical Approach</cite>. 1. Auflage. Chapman & Hall, London 1988, ISBN 978-0-412-30030-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fuzzy-c-Means-Algorithmus&rft.au=Bernhard+Flury%2C+Hans+Riedwyl&rft.btitle=Multivariate+Statistics%3A+A+Practical+Approach&rft.date=1988&rft.edition=1.&rft.genre=book&rft.isbn=9780412300301&rft.place=London&rft.pub=Chapman+%26+Hall" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>